2011 年考研数学（一） 第 19 题

被积函数带 $xy{f}_{xy}^{\prime \prime }$ 又给了 ${\iint }_{D}f=a$，摆明要用分部积分把二阶导『降』回 $f$ 本身。诀窍是每次分部都让边界项撞上给定的零边界条件：对 $y$ 分部撞 $f_x^{\prime }(x,1)=0$（由 $f(x,1)=0$ 求导），对 $x$ 分部撞 $f(1,y)=0$，两次清零后恰还原成 ${\iint }_{D}f=a$。

化为累次积分，对 $y$、$x$ 各作一次分部积分，利用边界条件消去边界项。

先对 $y$ 积分（视 $x$ 为参数）：
$$I={\int }_0^{1}xdx{\int }_0^{1}y{f}_{xy}^{\prime \prime }(x,y)dy={\int }_0^{1}xdx{\int }_0^{1}yd[f_x^{\prime }(x,y)].$$
分部积分：${\int }_0^{1}yd{f}_x^{\prime }=y{f}_x^{\prime }{|}_{y=0}^{y=1}-{\int }_0^1{f}_x^{\prime }dy=f_x^{\prime }(x,1)-{\int }_0^1{f}_x^{\prime }(x,y)dy$。

由 $f(x,1)=0$（对 $x$ 求导得 $f_x^{\prime }(x,1)=0$），故
$$I=-{\int }_0^{1}xdx{\int }_0^1{f}_x^{\prime }(x,y)dy=-{\int }_0^{1}dy{\int }_0^{1}x{f}_x^{\prime }(x,y)dx.$$

再对 $x$ 分部积分：${\int }_0^{1}x{f}_x^{\prime }dx={\int }_0^{1}xdf(x,y)=xf(x,y){|}_{x=0}^{x=1}-{\int }_0^{1}f(x,y)dx=f(1,y)-{\int }_0^{1}f(x,y)dx$。
由 $f(1,y)=0$ 得 ${\int }_0^{1}x{f}_x^{\prime }dx=-{\int }_0^{1}f(x,y)dx$。

代回：
$$I=-{\int }_0^{1}dy\left(-{\int }_0^{1}f(x,y)dx\right)={\int }_0^{1}dy{\int }_0^{1}f(x,y)dx={\iint }_{D}f(x,y)dxdy=a.$$