2011 年考研数学（一） 第 18 题

对数夹在两个有理式之间，是典型的『作差构造辅助函数、用导数定号』套路，$f(0)=0$ 加 $f^{\prime }>0$ 即得严格不等式。第（Ⅱ）问是经典的欧拉常数收敛证明：既已握有 $\frac{1}{n+1}<\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$，左边管单调（$a_{n+1}-a_n<0$）、右边管下界（望远镜求和 $\sum \ln (1+\frac{1}{k})=\ln (n+1)$），单调有界准则收官。

（Ⅰ）先证一般不等式 $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x(x>0)$，再取 $x=\frac{1}{n}$。

令 $f(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{1+x}$，则 $f(0)=0$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{x}{(1+x{)}^2}>0(x>0)$，故 $f(x)>0$，即 $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)$。
再令 $g(x)=x-\ln (1+x)$，则 $g(0)=0$，$g^{\prime }(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0(x>0)$，故 $g(x)>0$，即 $\ln (1+x)<x$。

取 $x=\frac{1}{n}$，则 $\frac{x}{1+x}=\frac{1}{n+1}$，代入即得
$$\frac{1}{n+1}<\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}.$$

（Ⅱ）证 $\{a_n\}$ 单调有界。 由（Ⅰ）左半，$\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)>\frac{1}{n+1}$，故
$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-[\ln (n+1)-\ln n]=\frac{1}{n+1}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<0,$$
即 $\{a_n\}$ 单调减少。

又由（Ⅰ）右半 $\frac{1}{k}>\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)$，且 $\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln \frac{2}{1}+\ln \frac{3}{2}+\cdots +\ln \frac{n+1}{n}=\ln (n+1)$，于是
$$a_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n>\ln (n+1)-\ln n>0,$$
即 $\{a_n\}$ 有下界 $0$。

由单调有界准则，$\{a_n\}$ 收敛。（其极限即欧拉常数 $\gamma$。）