2011 年考研数学（一） 第 17 题

含参方程根的个数，标准做法是化为函数零点，用单调性、极值、端点值卡出数目。此题两处巧思：一是 $f$ 为奇函数，$x=0$ 白送一根且只需研究 $(0,+\infty )$；二是 $f^{\prime }$ 的符号完全由 $k-1-x^2$ 决定，故 $k=1$ 成为分界——$k>1$ 时出现正的极大值再配 $f\to -\infty$，介值定理保证正半轴恰一根，对称后共 $3$ 根。

令 $f(x)=k\arctan x-x$。 它在 $(-\infty ,+\infty )$ 内为奇函数，且 $f(0)=0$，故 $x=0$ 恒为一个根。由奇性，只需研究 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内的零点个数。求导
$$f^{\prime }(x)=\frac{k}{1+x^2}-1=\frac{k-1-x^2}{1+x^2}.$$

当 $k\le 1$ 时： 对一切 $x>0$，$k-1-x^2<0$，即 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内单调减少，故 $f(x)<f(0)=0$，无零点。此时方程只有唯一实根 $x=0$，共 $1$ 个实根。

当 $k>1$ 时： 由 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=\sqrt{k-1}$。在 $(0,\sqrt{k-1})$ 内 $f^{\prime }(x)>0$，在 $(\sqrt{k-1},+\infty )$ 内 $f^{\prime }(x)<0$，故 $x=\sqrt{k-1}$ 为最大值点，最大值 $M=f(\sqrt{k-1})>f(0)=0$。又 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$，由连续函数介值性，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内恰有一个零点。

由奇性，$(-\infty ,0)$ 内也恰有一个零点，再加上 $x=0$，故当 $k>1$ 时方程 共有 $3$ 个不同实根。