2011 年考研数学（一） 第 16 题

抽象复合函数求偏导，成败在于始终盯住『外层导数 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 仍依赖中间变量』，逐层链式不漏项。命题给『在 $x=1$ 取极值 $g(1)=1$』这看似闲笔的信息实为送分：$g^{\prime }(1)=0$ 让所有含 $g^{\prime }$ 的项在代入时归零，结果大幅简化为三项之和。

先求一阶偏导，再对 $y$ 求偏导；注意 $g$ 在 $x=1$ 取极值，故 $g^{\prime }(1)=0$。 记 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 为 $f$ 对第一、第二个变量的偏导。第一个变量为 $xy$，第二个变量为 $yg(x)$。

对 $x$ 求偏导：
$$\frac{\partial z}{\partial x}=f_1^{\prime }\cdot y+f_2^{\prime }\cdot y{g}^{\prime }(x)=y{f}_1^{\prime }+y{g}^{\prime }(x)f_2^{\prime }.$$

再对 $y$ 求偏导（注意 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 仍是 $xy,yg(x)$ 的函数，$\frac{\partial }{\partial y}$ 对第一变量得因子 $x$、对第二变量得因子 $g(x)$）：
$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=f_1^{\prime }+y[x{f}_{11}^{\prime \prime }+g(x)f_{12}^{\prime \prime }]+g^{\prime }(x)f_2^{\prime }+y{g}^{\prime }(x)[x{f}_{21}^{\prime \prime }+g(x)f_{22}^{\prime \prime }].$$

将 $x=1,y=1,g(1)=1,g^{\prime }(1)=0$ 代入（此时 $f$ 的两个自变量 $xy=1$、$yg(x)=1$，即在点 $(1,1)$ 处取值）：
$${\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}|}_{\begin{array}{c}x=1\\ y=1\end{array}}=f_1^{\prime }(1,1)+f_{11}^{\prime \prime }(1,1)+f_{12}^{\prime \prime }(1,1).$$