2011 年考研数学（一） 第 15 题

见 $1^{\infty }$ 先取对数是铁律，把幂化成 $\ln y=\frac{1}{e^x-1}\ln \frac{\ln (1+x)}{x}$。难点在那层嵌套对数：先把 $\frac{\ln (1+x)}{x}$ 泰勒展成 $1-\frac{x}{2}+\cdots$（趋于 $1$），外层 $\ln (1+u)\sim u$ 恰好接上，配合分母 $e^x-1\sim x$，极限一步到位。

这是 $1^{\infty }$ 型极限，取对数化为求 $\ln y$ 的极限。 记 $y={\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right]}^{\frac{1}{e^x-1}}$，则
$$\ln y=\frac{1}{e^x-1}\ln \frac{\ln (1+x)}{x}.$$

当 $x\to 0$ 时 $e^x-1\sim x$。又利用泰勒展开 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，得
$$\frac{\ln (1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+o(x),$$
从而 $\ln \frac{\ln (1+x)}{x}=\ln \left(1-\frac{x}{2}+o(x)\right)\sim -\frac{x}{2}+o(x)$（用 $\ln (1+u)\sim u$）。

于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\ln y=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{x}{2}+o(x)}{x}=-\frac{1}{2},$$
故原极限 $=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$。