2011 年考研数学（一） 第 14 题

题眼是『二维正态且 $\rho =0$』——一般随机变量不相关未必独立，但二维正态里两者等价，独立性一到手就能把 $E(X{Y}^2)$ 拆成 $E(X)E(Y^2)$；剩下只需用 $E(Y^2)=D(Y)+[E(Y){]}^2={\sigma }^2+{\mu }^2$ 补齐二阶矩。

由参数知 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$Y\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，相关系数 $\rho =0$。对二维正态分布，$\rho =0$ 等价于 $X,Y$ 相互独立。

于是
$$E(X{Y}^2)=E(X)\cdot E(Y^2)=\mu \left\{D(Y)+[E(Y){]}^2\right\}=\mu ({\sigma }^2+{\mu }^2)=\mu {\sigma }^2+{\mu }^3.$$