2011 年考研数学（一） 第 13 题

正交变换保特征值，所以标准形的系数 $0,1,4$ 就是 $A$ 的三个特征值。有了特征值，最省力的约束是 $\lambda =0\Rightarrow \det A=0\Rightarrow r(A)=2$，把行列式或秩化成只含 $a$ 的条件；再用迹 $=0+1+4=5$ 校验一次，$a$ 便稳。

二次型的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$，正交变换保持特征值不变。由标准形 $y_1^2+4z_1^2$（缺 $x_1^2$ 项）知 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=4$。

由 ${\lambda }_1=0$ 知 $|A|=0$，即 $r(A)=2$。对 $A$ 作行变换：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& 1\\ a& 3& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& a-1& 0\\ 0& 3-a& 1-a\end{array}\right).$$
要使 $r(A)=2$，需 $a-1=0$，即 $a=1$。（此时迹 $1+3+1=5=0+1+4$，亦相符。）