2011 年考研数学（一） 第 12 题

交线上的第二型曲线积分直接参数化也行，但斯托克斯公式更省事——把线积分换成旋度在所张平面片上的通量。旋度算出后投影到单位圆盘，再靠奇对称性使 ${\iint }_{D}x={\iint }_{D}y=0$，只剩面积 ${\iint }_{D}1=\pi$；选平面 $z=x+y$ 张成的圆片正是为了让投影恰是单位圆。

方法一（斯托克斯公式）。 取 $L$ 所围的平面片 $\Sigma :z=x+y$（$x^2+y^2\le 1$），由定向按右手法则其法向量指向上侧，$\mathbf{n}=(-1,-1,1)$，方向余弦 $\cos \alpha =\cos \beta =-\frac{1}{\sqrt{3}},\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{3}}$。

由斯托克斯公式
$${\oint }_{L}xzdx+xdy+\frac{y^2}{2}dz={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ xz& x& \frac{y^2}{2}\end{array}\right|dS=\frac{1}{\sqrt{3}}{\iint }_{\Sigma }(-x-y+1)dS.$$

注意旋度分量：$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{y^2}{2}\right)-\frac{\partial x}{\partial z}=y$，$\frac{\partial (xz)}{\partial z}-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{y^2}{2}\right)=x$，$\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial (xz)}{\partial y}=1$，故被积旋度点乘 $\mathbf{n}$ 得 $-y-x+1$。曲面上 $dS=\sqrt{3}dxdy$，投影区域 $D:x^2+y^2\le 1$，于是
$$=\frac{1}{\sqrt{3}}{\iint }_D(-x-y+1)\sqrt{3}dxdy={\iint }_D(-x-y+1)dxdy.$$

由对称性 ${\iint }_{D}xdxdy={\iint }_{D}ydxdy=0$，故原式 $={\iint }_{D}dxdy=\pi \cdot 1^2=\pi$。