2011 年考研数学（一） 第 11 题

关键是把变限积分求导与含参数偏导结合：对 $x$ 求导时 $y$ 是常数，上限 $xy$ 求导带出因子 $y$。第二次求导的表达式虽繁，但题目只要 $x=0$ 处的值，$\sin (xy){|}_{x=0}=0$ 抹掉含 $\sin$ 的项，真正要算的只剩 $\cos$ 那一块。

视 $y$ 为常数，对上限 $xy$ 用变限积分求导：
$$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\sin (xy)}{1+(xy{)}^2}\cdot y=\frac{y\sin xy}{1+x^2{y}^2}.$$

再对 $x$ 求偏导：
$$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}=y\cdot \frac{y(1+x^2{y}^2)\cos xy-2x{y}^2\sin xy}{(1+x^2{y}^2{)}^2}.$$

代入 $x=0,y=2$：分子为 $2\cdot (1+0)\cos 0-0=2$，分母为 $1$，故
$${\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}|}_{\begin{array}{c}x=0\\ y=2\end{array}}=2\cdot 2=4.$$