2011 年考研数学（一） 第 10 题

一眼看出是一阶线性方程，直接上积分因子 $e^{\int 1dx}=e^x$。命题精心让 $e^x$ 与右端 $e^{-x}\cos x$ 相乘只剩 $\cos x$，积分立得 $\sin x$，通解形式清爽；最后代初值定常数即可。

这是一阶线性微分方程，$P(x)=1$，$Q(x)=e^{-x}\cos x$。由通解公式
$$y=e^{-\int dx}\left(\int e^{-x}\cos x\cdot e^{\int dx}dx+C\right)=e^{-x}\left(\int \cos xdx+C\right)=e^{-x}(\sin x+C).$$

代入初值 $y(0)=0$ 得 $C=0$，故满足条件的特解为 $y=e^{-x}\sin x$。