2011 年考研数学（一） 第 9 题

弧长题的固定套路是 $s=\int \sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$。这里 $y$ 是变限积分，求导一步得 $y^{\prime }=\tan x$，而 $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$ 让根号完美消失——这正是命题者把被积函数取成 $\tan t$ 的用意，剩下只需记住 $\sec x$ 的积分公式。

由变限积分求导 $y^{\prime }=\tan x$，故弧微分
$$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx=\sqrt{1+{\tan }^{2}x}dx=\sec xdx\left(0\le x\le \frac{\pi }{4}\text{ 时 }\sec x>0\right).$$

于是
$$s={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|{|}_0^{\frac{\pi }{4}}=\ln (\sqrt{2}+1)-\ln 1=\ln (1+\sqrt{2}).$$