2011 年考研数学（一）第 8 题

选择题 · 4 分

设随机变量

X

与

Y

相互独立，且

E (X)

与

E (Y)

存在，记

U = max {X, Y}

，

V = min {X, Y}

，则

E (U V) =

（　　）

提示 1

别急着分别求

U = max, V = min

的分布，先想

max

与

min

之间有没有代数恒等式。

提示 2

无论

X \geq Y

还是

X < Y

，

max {X, Y} \cdot min {X, Y}

都等于什么？

提示 3

一旦把

U V

换成

X Y

，再用

X, Y

相互独立这一条件拆期望。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

陷阱在于诱导你去求

U, V

各自的期望——既繁又用不上独立性。真正的钥匙是恒等式

max {X, Y} \cdot min {X, Y} = X Y

（两数之积与大小顺序无关），于是

E (U V) = E (X Y)

，独立性直接给出

E (X) E (Y)

。

解答

关键恒等式： $max {X, Y} \cdot min {X, Y} = X Y$ 。 无论

X \geq Y

还是

X < Y

，两者之积总是

U V = X Y

。

于是

E (U V) = E (X Y)

。又

X, Y

相互独立，故

E (X Y) = E (X) E (Y)

，即

E (U V) = E (X) \cdot E (Y)

，应选 B。

2011 年考研数学（一） 第 8 题