2011 年考研数学（一）第 7 题

选择题 · 4 分

设

F_{1} (x)

与

F_{2} (x)

为两个分布函数，其相应的概率密度

f_{1} (x)

与

f_{2} (x)

是连续函数，则必为概率密度的是（　　）

提示 1

判定『必为概率密度』要抓两条硬性质：处处非负，且在

(- \infty, + \infty)

上积分等于

1

。

提示 2

逐项检验四个选项；若某项能整体写成两个函数乘积的导数，用牛顿-莱布尼茨算它的全积分会特别方便。

提示 3

回忆乘积求导

[F_{1} F_{2}]^{'} = f_{1} F_{2} + f_{2} F_{1}

，并用

F_{i} (- \infty) = 0, F_{i} (+ \infty) = 1

算这类结构的全积分；其余选项可取指数分布作反例排除。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

概率密度的两张『身份证』是非负与全积分为

1

。选项里最该盯住能整体凑成导数的那个：

f_{1} F_{2} + f_{2} F_{1} = (F_{1} F_{2})^{'}

，牛顿-莱布尼茨一积就是

1

，又显然非负，天然合格；其余三项没有这种『恰好等于某分布函数导数』的结构，随手取指数分布当反例即可否掉。

解答

概率密度须满足非负且在 $(- \infty, + \infty)$ 上积分为 $1$ 。 逐项检验，选项 (D) 恰是乘积

F_{1} F_{2}

的导数。

对 (D)：由

F_{1}^{'} = f_{1}

、

F_{2}^{'} = f_{2}

得

f_{1} (x) F_{2} (x) + f_{2} (x) F_{1} (x) = [F_{1} (x) F_{2} (x)]^{'} \geq 0,

又

F_{1} (- \infty) = F_{2} (- \infty) = 0

，

F_{1} (+ \infty) = F_{2} (+ \infty) = 1

，故

\int_{- \infty}^{+ \infty} [f_{1} F_{2} + f_{2} F_{1}] d x = F_{1} (x) F_{2} (x)_{- \infty}^{+ \infty} = 1.

非负且积分为

1

，故 (D) 是概率密度。

反例排除其余：取

f_{1}, f_{2}

分别为参数

1

和

2

的指数分布密度，可算得

\int f_{1} f_{2} d x = \frac{2}{3} \neq = 1

、

\int 2 f_{2} F_{1} d x = \frac{2}{3} \neq = 1

、

\int f_{1} F_{2} d x = \frac{2}{3} \neq = 1

，故 (A)(B)(C) 均不满足。应选 D。

2011 年考研数学（一） 第 7 题