2011 年考研数学（一） 第 6 题

伴随矩阵题的两大抓手：一是秩的对应 $r(A)=n-1\Rightarrow r(A^{\ast })=1$，立刻锁定解空间是 $3$ 维（排除只含两个向量的选项）；二是 $A^{\ast }A=|A|E=O$，说明 $A$ 的列都是 $A^{\ast }x=0$ 的解。再把基础解系翻译成 ${\alpha }_1+{\alpha }_3=0$，挑出真正线性无关的三列即可。

确定 $r(A^{\ast })$ 与解空间维数。 由 $Ax=0$ 的基础解系只含 $1$ 个向量知 $r(A)=4-1=3$，于是 $r(A^{\ast })=1$（$n$ 阶方阵 $r(A)=n-1$ 时 $r(A^{\ast })=1$）。故 $A^{\ast }x=0$ 的基础解系含 $4-r(A^{\ast })=3$ 个向量，排除只含 $2$ 个向量的 (A)(B)。

找 $A^{\ast }x=0$ 的解。 由 $A^{\ast }A=|A|E=O$（因 $r(A)=3$，$|A|=0$），知 $A$ 的各列 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 都是 $A^{\ast }x=0$ 的解。

又 $(1,0,1,0{)}^T$ 是 $Ax=0$ 的解，即 $A(1,0,1,0{)}^T={\alpha }_1+{\alpha }_3=0$，故 ${\alpha }_1=-{\alpha }_3$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关。而 $r(A)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)=3$，去掉与 ${\alpha }_3$ 成比例的 ${\alpha }_1$ 后，${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，恰为 $3$ 个无关解。

故 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 可作为 $A^{\ast }x=0$ 的基础解系，应选 D。