2011 年考研数学（一） 第 5 题

关键信号是『对列操作还是对行操作』——列变换右乘、行变换左乘应成条件反射。把题意翻译成 $P_{2}A{P}_1=E$ 后，$A$ 就是两个初等矩阵之逆的乘积；再用对换矩阵自身即为逆这一小性质化简，便不必在选项间盲猜。

本题考查初等变换与初等矩阵：列变换右乘、行变换左乘。

把 $A$ 的第 $2$ 列加到第 $1$ 列，相当于 $A$ 右乘初等矩阵 $P_1$，即 $B=A{P}_1$。再交换第 $2,3$ 行，相当于左乘 $P_2$，得单位矩阵 $E$，即
$$P_{2}B=E,P_{2}A{P}_1=E.$$

于是 $A=P_2^{-1}{P}_1^{-1}$。又 $P_2$ 为对换初等矩阵，$P_2^{-1}=P_2$，故 $A=P_2{P}_1^{-1}$，应选 D。