2011 年考研数学（一） 第 4 题

定积分比较大小的第一反应：积分区间相同就只比被积函数。难点仅在理清 $(0,\frac{\pi }{4})$ 上 $\sin x<\cos x<1<\cot x$ 这条链，再借 $\ln$ 单调递增把不等号搬进对数、积分保号即得，完全不必真去算这几个（反常）积分的值。

积分限相同的定积分比较大小，只需比较被积函数。

当 $0<x<\frac{\pi }{4}$ 时，有 $0<\sin x<\cos x<1<\cot x$，由于 $\ln$ 单调增，得
$$\ln \sin x<\ln \cos x<\ln \cot x.$$

在 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 上对三个不等式积分，不等号方向保持，故
$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sin xdx<{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos xdx<{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cot xdx,$$
即 $I<K<J$，应选 B。（注：$I,J$ 是以 $x=0$ 为瑕点的反常积分，均收敛，比较方法仍成立。）