2011 年考研数学（一） 第 3 题

看到『二元函数在某点取极小值的充分条件』就该想到 $AC-B^2$ 判别法。本题妙在 $z$ 是可分离的乘积形式，混合偏导 $B$ 在驻点为 $0$，于是 $AC-B^2=[f^{\prime \prime }(0){]}^2\ln f(0)$ 的符号只由 $\ln f(0)$ 决定，$A$ 的符号再定 $f^{\prime \prime }(0)$，两个条件顺势读出。

本题考查二元函数极值的充分条件。 先验证 $(0,0)$ 为驻点，再用 $AC-B^2$ 判别。

求一阶偏导：
$$\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }(x)\ln f(y),\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{f(x)f^{\prime }(y)}{f(y)}.$$
由 $f^{\prime }(0)=0$ 知 ${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(0,0)}=0$，${\frac{\partial z}{\partial y}|}_{(0,0)}=0$，故 $(0,0)$ 是驻点。

求二阶偏导在 $(0,0)$ 处的值：
$$A={\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}|}_{(0,0)}=f^{\prime \prime }(0)\ln f(0),B={\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}|}_{(0,0)}=0,C={\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}|}_{(0,0)}=f^{\prime \prime }(0).$$

则 $AC-B^2=[f^{\prime \prime }(0){]}^2\ln f(0)$。取得极小值需 $AC-B^2>0$ 且 $A>0$。由 $[f^{\prime \prime }(0){]}^2>0$，$AC-B^2>0\iff \ln f(0)>0\iff f(0)>1$；此时 $A=f^{\prime \prime }(0)\ln f(0)>0\iff f^{\prime \prime }(0)>0$。故充分条件为 $f(0)>1,f^{\prime \prime }(0)>0$，应选 A。