2011 年考研数学（一） 第 2 题

幂级数带 $(x-1{)}^n$，先平移成 $\sum a_n{t}^n$ 是本能。命题不给通项而给『单调减、趋零、部分和无界』，正是为了判端点：无界 $\Rightarrow t=1$ 处 $\sum a_n$ 发散，单调趋零 $\Rightarrow t=-1$ 处交错级数由莱布尼茨收敛，于是 $R=1$、端点一开一闭，换回 $x$ 即得。

先确定 $\sum a_n{t}^n$（记 $t=x-1$）的收敛半径。 由 $\{a_n\}$ 单调减少且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$ 知 $a_n>0$。

在 $t=1$ 处： 级数为 $\sum a_n$。因为部分和 $S_n$ 无界，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ 不存在，$\sum a_n$ 发散，即幂级数在 $t=1$ 处发散。

在 $t=-1$ 处： 级数为 $\sum (-1{)}^n{a}_n$，由 $\{a_n\}$ 单调减少趋于 $0$，据莱布尼茨判别法知它收敛。

于是收敛半径 $R=1$，且对 $t=x-1$ 的收敛域为 $[-1,1)$。由 $-1\le x-1<1$ 得 $x\in [0,2)$，应选 C。