2011 年考研数学（一） 第 1 题

四个选项都是零点，硬求 $y^{\prime \prime }$ 太繁；关键信号是『多项式在零点附近由最低次因子主导』。于是把 $y$ 局部近似成 $c(x-x_0{)}^k$，只用重数 $k$ 的奇偶来判断 $y^{\prime \prime }$ 是否变号（$k=1$ 不满足 $y^{\prime \prime }=0$、偶数重不变号，唯有奇数重且 $k\ge 3$ 才是拐点），从而避开真正的二阶导计算。

本题考查拐点的判定。 拐点是曲线凹凸性发生改变的点，即二阶导数 $y^{\prime \prime }$ 变号处。$x=1,2,3,4$ 都是曲线与 $x$ 轴的交点，可在每个交点附近把 $y$ 写成 $(x-x_0{)}^k$ 乘以一个在 $x_0$ 处非零的因子，用重数 $k$ 判断。

在 $x=2$ 处： $y=(x-2{)}^{2}k(x)$，其中 $k(2)=(2-1)(2-3{)}^3(2-4{)}^4=-16\ne 0$，故 $y$ 在 $x=2$ 附近形如 $-16(x-2{)}^2$，$y^{\prime \prime }$ 不变号，$(2,0)$ 不是拐点。在 $x=4$ 处： $y=(x-4{)}^{4}h(x)$，$h(4)=(4-1)(4-2{)}^2(4-3{)}^3=12\ne 0$，$y$ 形如 $12(x-4{)}^4$，$y^{\prime \prime }\ge 0$ 不变号，$(4,0)$ 不是拐点。

在 $x=1$ 处： $y=(x-1)p(x)$，$p(1)\ne 0$，则 $y^{\prime \prime }(1)=2p^{\prime }(1)\ne 0$，不满足拐点的必要条件 $y^{\prime \prime }=0$，$(1,0)$ 不是拐点。

在 $x=3$ 处： $y=(x-3{)}^{3}m(x)$，其中 $m(3)=(3-1)(3-2{)}^2(3-4{)}^4=2>0$，故 $y$ 在 $x=3$ 附近形如 $2(x-3{)}^3$，从而 $y^{\prime \prime }\approx 12(x-3)$ 在 $x=3$ 两侧变号，$(3,0)$ 是拐点。

综上，应选 C。