2009 年考研数学（一） 第 16 题

本题先几何后级数。第一步用定积分把 $a_n$ 化成 $\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$ 的裂项形式，$S_1$ 自然裂项相消。$S_2$ 只取奇数项，展开后凑出交错调和级数 $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$，此时信号是「交错 $+1/n$」，用已知幂级数 $-\ln (1+x)$ 代 $x=1$ 求和。识别裂项与交错级数是两把钥匙。

分析： 先由定积分求出面积 $a_n$，$S_1$ 用裂项求和，$S_2$ 借助幂级数 $-\ln (1+x)$ 求和。

由 $\{\begin{array}{l}y=x^n\\ y=x^{n+1}\end{array}$ 得两曲线交点为 $(0,0)$ 与 $(1,1)$。在 $[0,1]$ 上 $x^n\ge x^{n+1}$，故
$$a_n={\int }_0^1\left(x^n-x^{n+1}\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}.$$

求 $S_1$（裂项）： 部分和
$$S_1^{(N)}=\sum _{n=1}^N\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{N+2}⟶\frac{1}{2},$$
故 $S_1=\frac{1}{2}$。

求 $S_2$： 因 $a_{2n-1}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}$，故
$$S_2=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}.$$
令 $S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}{x}^n=-\ln (1+x)(-1<x\le 1)$，取 $x=1$ 得 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}=-\ln 2$。故
$$S_2=1+(-\ln 2)=1-\ln 2.$$

综上，$S_1=\frac{1}{2}$，$S_2=1-\ln 2$。