2009 年考研数学（一） 第 15 题

二元极值的标准三步：定义域 $\to$ 解驻点 $\to$ 二阶判别。本题便利在 $f_x^{\prime }=2x(2+y^2)$ 中 $2+y^2>0$，一步逼出 $x=0$，再由 $f_y^{\prime }=0$ 定 $y$，驻点唯一。最后用 $AC-B^2$ 判别，注意别忘了 $y>0$ 的定义域限制。

分析： 定义域为 $y>0$。先求驻点（令一阶偏导为零），再用二阶判别法 $AC-B^2$ 判断。

求一阶偏导：
$$f_x^{\prime }=2x(2+y^2),f_y^{\prime }=2x^{2}y+\ln y+1.$$
令 $f_x^{\prime }=0$：由 $2+y^2>0$ 得 $x=0$。代入 $f_y^{\prime }=0$：$\ln y+1=0$，即 $y=\frac{1}{\mathrm{e}}$。故唯一驻点为 $\left(0,\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$。

求二阶偏导并在驻点取值：
$$A=f_{xx}^{\prime \prime }=2(2+y^2){|}_{(0,1/\mathrm{e})}=2\left(2+\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}\right),$$
$$B=f_{xy}^{\prime \prime }=4xy{|}_{(0,1/\mathrm{e})}=0,C=f_{yy}^{\prime \prime }=2x^2+\frac{1}{y}{|}_{(0,1/\mathrm{e})}=\mathrm{e}.$$

于是 $AC-B^2=2\mathrm{e}\left(2+\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}\right)>0$，且 $A>0$，故 $\left(0,\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 为极小值点。极小值为
$$f\left(0,\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=0+\frac{1}{\mathrm{e}}\ln \frac{1}{\mathrm{e}}=-\frac{1}{\mathrm{e}}.$$
即 $f(x,y)$ 有极小值 $-\frac{1}{\mathrm{e}}$，无极大值。