2009 年考研数学（一） 第 14 题

无偏估计题入手就是「令估计量期望 $=$ 目标参数」。窍门是记住 $E(\bar{X})=\mu$、$E(S^2)={\sigma }^2$ 这两个不依赖具体分布的恒等式，于是 $E(\bar{X}+k{S}^2)=np+knp(1-p)$。再与 $n{p}^2$ 比对，含 $p$ 的等式对所有 $p$ 成立即可解出 $k$。

本题考查无偏估计的定义及样本均值、样本方差的期望。 样本方差 $S^2$ 是总体方差的无偏估计，即 $E(S^2)=D(X_1)$。

因 $X_i\sim B(n,p)$，故 $E(\bar{X})=E(X_1)=np$，$E(S^2)=D(X_1)=np(1-p)$。于是
$$E(\bar{X}+k{S}^2)=np+knp(1-p).$$

由无偏性要求 $E(\bar{X}+k{S}^2)=n{p}^2$，即
$$np+knp(1-p)=n{p}^2⟹1+k(1-p)=p⟹k(1-p)=-(1-p),$$
故 $k=-1$。