2009 年考研数学（一） 第 13 题

看到 $\beta {\alpha }^{\mathrm{T}}$（列乘行）就应识别为秩 $1$ 矩阵，至多一个非零特征值。利用 ${\alpha }^{\mathrm{T}}\beta$ 是标量这一点，算得 $A^2=({\alpha }^{\mathrm{T}}\beta )A$，故特征值满足 ${\lambda }^2=2\lambda$；再借「迹 $=$ 特征值之和」锁定非零值。核心是把「行乘列是数」这一结构用起来。

本题考查秩为 $1$ 的矩阵的特征值。 关键利用 ${\alpha }^{\mathrm{T}}\beta$ 是数量这一事实。

记 $A=\beta {\alpha }^{\mathrm{T}}$，则
$$A^2=\beta ({\alpha }^{\mathrm{T}}\beta ){\alpha }^{\mathrm{T}}=2\beta {\alpha }^{\mathrm{T}}=2A.$$
设 $Ax=\lambda x(x\ne 0)$，由 $A^2=2A$ 得 ${\lambda }^{2}x=2\lambda x$，即 $({\lambda }^2-2\lambda )x=0$。因 $x\ne 0$，故 ${\lambda }^2-2\lambda =0$，$\lambda =0$ 或 $\lambda =2$。

又 $\mathrm{tr}(A)={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta =2$，即全部特征值之和为 $2$，而 $A$ 的秩为 $1$，故只有一个非零特征值，即为 $2$。