2009 年考研数学（一） 第 12 题

球上算 $\iiint z^2$ 若直接做略繁，但注意 $\Omega$ 对 $x,y,z$ 完全对称，故 $\iiint z^2=\iiint x^2=\iiint y^2$，三者相加即 $\iiint r^2$。这个「轮换对称配平」把 $z^2$ 换成 $r^2$，正好契合球坐标，计算立刻简化。看到对称区域 + 单一平方变量就应想到这招。

本题考查三重积分的对称性与球面坐标法。 $\Omega$ 是单位球，关于三个坐标面均对称。

由对称性 ${\iiint }_{\Omega }{z}^2\mathrm{d}v={\iiint }_{\Omega }{x}^2\mathrm{d}v={\iiint }_{\Omega }{y}^2\mathrm{d}v$，故
$${\iiint }_{\Omega }{z}^2\mathrm{d}v=\frac{1}{3}{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}v.$$

用球面坐标（$x^2+y^2+z^2=r^2$，$\mathrm{d}v=r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$）：
$$\frac{1}{3}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\pi }\sin \phi \mathrm{d}\phi {\int }_0^1{r}^4\mathrm{d}r=\frac{1}{3}\cdot 2\pi \cdot 2\cdot \frac{1}{5}=\frac{4}{15}\pi .$$