2009 年考研数学（一） 第 11 题

第一类曲线积分第一步永远是「参数化 + 弧长微元」$\mathrm{d}s=\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$，把曲线积分化成普通定积分。化下来是 $x\sqrt{1+4x^2}$，看到根号内 $1+4x^2$ 的导数正比于外面的 $x$，立即想到凑微分。识别「被积函数 $=$ 复合函数 $\times$ 其内层导数」是关键。

本题考查第一类（对弧长的）曲线积分。 将曲线用 $x$ 参数化，$\mathrm{d}s=\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$。

由 $y=x^2$ 得 $y^{\prime }=2x$，故 $\mathrm{d}s=\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}x$，于是
$${\int }_{L}x\mathrm{d}s={\int }_0^{\sqrt{2}}x\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}x.$$

凑微分 $\mathrm{d}(1+4x^2)=8x\mathrm{d}x$：
$${\int }_0^{\sqrt{2}}x\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{8}{\int }_0^{\sqrt{2}}(1+4x^2{)}^{1/2}\mathrm{d}(1+4x^2)=\frac{1}{12}(1+4x^2{)}^{3/2}{|}_0^{\sqrt{2}}=\frac{1}{12}(27-1)=\frac{13}{6}.$$