2009 年考研数学（一） 第 10 题

题目「由通解反求方程」的信号是给了齐次解形式：$(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^x$ 对应二重根 $\lambda =1$，据此用根与系数关系反推 $a,b$。右端 $x$ 是多项式且 $0$ 非特征根，故特解设为一次多项式待定系数；最后用初值定常数，是标准的三步走。

本题考查由通解反求方程系数，再求非齐次方程的特解。

由齐次通解 $y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^x$ 知特征方程有二重根 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1$，故特征方程为 ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$ 中 $a=-({\lambda }_1+{\lambda }_2)=-2,b={\lambda }_1{\lambda }_2=1$。即方程为 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=x$。

因 $\lambda =0$ 不是特征根，设特解 $y_0=Ax+B$，代入 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=x$ 得 $-2A+(Ax+B)=x$，解得 $A=1,B=2$，即 $y_0=x+2$。于是通解为
$$y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^x+x+2.$$

代入初值：$y(0)=C_1+2=2\Rightarrow C_1=0$；$y^{\prime }=(C_2+C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^x+1$，$y^{\prime }(0)=C_2+C_1+1=0\Rightarrow C_2=-1$。故所求解为
$$y=-x{\mathrm{e}}^x+x+2=x(1-{\mathrm{e}}^x)+2.$$