乐思数学通 › 考研数学（一） › 真题检索 › 2009 年

2009 年考研数学（一）第 9 题

填空题 · 4 分

设函数

f (u, v)

具有二阶连续偏导数，

z = f (x, x y)

，则

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} =

______.

提示 1

设中间变量

u = x, v = x y

，先对

x

求一阶偏导，注意

v = x y

对

x

的导数是

y

。

提示 2

求出

\frac{\partial z}{\partial x}

后再对

y

求导，切记

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

仍是

u, v

的函数，要继续套链式法则。

提示 3

对

y

求导时，

\frac{\partial}{\partial y} f_{1}^{'} = x f_{12}^{''}

、

\frac{\partial}{\partial y} f_{2}^{'} = x f_{22}^{''}

；同时别漏掉

y f_{2}^{'}

里对系数

y

的乘积求导。

答案与详解

答案 $x f_{12}^{''} + f_{2}^{'} + x y f_{22}^{''}$

思路（为什么这么做）

复合函数高阶偏导的关键是「导数仍是复合函数」——

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

求完一阶后仍依赖

u, v

，第二次求导必须再套链式法则。本题第二个中间变量

v = x y

同时含

x, y

，故对

y

求导时既要对

f_{2}^{'}

前的系数

y

用乘积法则，又要让

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

经

v

对

y

求导，理清这两条路径就不会漏项。

解答

本题考查多元复合函数求偏导。 令中间变量

u = x, v = x y

，注意

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

仍是

u, v

（即

x, x y

）的函数。

先对

x

求偏导：

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} \cdot 1 + f_{2}^{'} \cdot y = f_{1}^{'} + y f_{2}^{'} .

再对

y

求偏导（

\frac{\partial}{\partial y} f_{1}^{'} = x f_{12}^{''}

，

\frac{\partial}{\partial y} f_{2}^{'} = x f_{22}^{''}

）：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = x f_{12}^{''} + (f_{2}^{'} + y \cdot x f_{22}^{''}) = x f_{12}^{''} + f_{2}^{'} + x y f_{22}^{''} .

考点：多元复合函数求导法则、偏导数

← 2009 年全部题目