2009 年考研数学（一） 第 8 题

看到 $Z=XY$ 且 $Y$ 离散，标准思路是用全概率公式按 $Y$ 的取值拆开。$Y=0$ 这一支使 $Z$ 有概率 $\frac{1}{2}$ 集中在一点，正是间断（跳跃）的来源；$Y=1$ 这一支是连续的正态。合成后只需在 $z=0$ 检查跳跃，间断点个数便一目了然。

本题考查用全概率公式求随机变量函数的分布函数。 按 $Y$ 的取值 $\{Y=0\},\{Y=1\}$ 这一完备事件组分解。

$$F_Z(z)=P\{XY\le z\}=P\{Y=0\}P\{XY\le z\mid Y=0\}+P\{Y=1\}P\{XY\le z\mid Y=1\}.$$
当 $Y=0$ 时 $Z=0$，事件 $\{XY\le z\}=\{0\le z\}$；当 $Y=1$ 时 $Z=X$，事件为 $\{X\le z\}$。故
$$F_Z(z)=\frac{1}{2}P\{z\ge 0\}+\frac{1}{2}P\{X\le z\}=\frac{1}{2}P\{z\ge 0\}+\frac{1}{2}\Phi (z).$$

于是
$$F_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\Phi (z),& z<0,\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\Phi (z),& z\ge 0.\end{array}$$
在 $z=0$ 处左极限为 $\frac{1}{2}\Phi (0)=\frac{1}{4}$，而 $F_Z(0)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，出现跳跃；其余各点连续。故 $F_Z(z)$ 恰有 $1$ 个间断点，应选 B。