2009 年考研数学（一） 第 7 题

分布函数写成 $p_1\Phi (\cdot )+p_2\Phi (\cdot )$ 就是「混合分布」的信号，期望对权重线性，直接 $E(X)=\sum p_i{\mu }_i$。关键是从 $\Phi \left(\frac{x-1}{2}\right)$ 读出其均值为 $1$（标准化里的平移量），而 $\Phi (x)$ 均值为 $0$，全程不必对密度积分。

本题考查混合分布的数学期望。 $F(x)$ 是两个正态分布函数的加权和，可视为混合分布：以概率 $0.3$ 取自 $N(0,1)$，以概率 $0.7$ 取自 $N(1,2^2)$。

对分布函数求导得概率密度
$$f(x)=0.3\phi (x)+0.7\cdot \frac{1}{2}\phi \left(\frac{x-1}{2}\right),$$
其中 $\phi$ 为标准正态密度。由期望的线性性（两个分量的均值分别为 $0$ 和 $1$）：
$$E(X)=0.3\times 0+0.7\times 1=\mathrm{0.7.}$$

故应选 C。