2009 年考研数学（一） 第 6 题

一看「求伴随」且 $|A|,|B|$ 已知，就用 $M^{\ast }=|M|M^{-1}$ 把伴随问题转成求逆问题。反对角分块矩阵的逆是「对角位置互换再各自求逆」，行列式则要留意 $(-1{)}^{mn}$ 因子。最后把 $A^{-1},B^{-1}$ 换回 $A^{\ast },B^{\ast }$ 只是系数搭配，注意别把 $A^{\ast }$ 与 $B^{\ast }$ 的位置对调。

本题考查伴随矩阵公式 $M^{\ast }=|M|M^{-1}$ 与分块矩阵的行列式、逆。 记 $M=\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)$。

先求行列式：$|M|=\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|=(-1{)}^{2\times 2}|A|\cdot |B|=2\times 3=6$。
再求逆：$M^{-1}={\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$。

于是
$$M^{\ast }=|M|M^{-1}=6\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}O& 6B^{-1}\\ 6A^{-1}& O\end{array}\right).$$
又 $B^{\ast }=|B|B^{-1}=3B^{-1}$，故 $6B^{-1}=2B^{\ast }$；$A^{\ast }=|A|A^{-1}=2A^{-1}$，故 $6A^{-1}=3A^{\ast }$。

因此 $M^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}O& 2B^{\ast }\\ 3A^{\ast }& O\end{array}\right)$，应选 B。