2009 年考研数学（一） 第 5 题

过渡矩阵题的定义信号是「新基 $=$ 旧基 $\times Q$」，本题旧基是 ${\alpha }_1,\frac{1}{2}{\alpha }_2,\frac{1}{3}{\alpha }_3$，别弄反方向。把两组基都对同一组 $\{{\alpha }_i\}$ 表示，再约去公共因子，$Q$ 自然浮现；注意对角阵求逆是各元素取倒数（$\frac{1}{2}\to 2$ 等）。

本题考查向量空间中两组基之间的过渡矩阵。 由过渡矩阵定义：若 $({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)Q$，则 $Q$ 是由基 $\{{\gamma }_i\}$ 到基 $\{{\beta }_i\}$ 的过渡矩阵。

记 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$。由 $\left({\alpha }_1,\frac{1}{2}{\alpha }_2,\frac{1}{3}{\alpha }_3\right)=A\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{3}\end{array}\right)$，得 $A=\left({\alpha }_1,\frac{1}{2}{\alpha }_2,\frac{1}{3}{\alpha }_3\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$。

又 $({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1)=A\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$，代入上式得
$$({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1)=\left({\alpha }_1,\frac{1}{2}{\alpha }_2,\frac{1}{3}{\alpha }_3\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)=\left({\alpha }_1,\frac{1}{2}{\alpha }_2,\frac{1}{3}{\alpha }_3\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 2& 0\\ 0& 3& 3\end{array}\right).$$

故所求过渡矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 2& 0\\ 0& 3& 3\end{array}\right)$，应选 A。