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2009 年考研数学（一）第 4 题

选择题 · 4 分

设有两个数列

{a_{n}}, {b_{n}}

，若

n \to \infty lim a_{n} = 0

，则（　　）

A当 $n = 1 \sum \infty b_{n}$ 收敛时， $n = 1 \sum \infty a_{n} b_{n}$ 收敛.
B当 $n = 1 \sum \infty b_{n}$ 发散时， $n = 1 \sum \infty a_{n} b_{n}$ 发散.
C当 $n = 1 \sum \infty ∣ b_{n} ∣$ 收敛时， $n = 1 \sum \infty a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 收敛.
D当 $n = 1 \sum \infty ∣ b_{n} ∣$ 发散时， $n = 1 \sum \infty a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 发散.

提示 1

四个选项通常两真两假：正确的一项多能用比较判别法证，错误的用一个反例即可推翻。

提示 2

对含

a_{n}^{2} b_{n}^{2}

的选项：

a_{n} \to 0

说明

{a_{n}}

有界，

\sum ∣ b_{n} ∣

收敛说明

b_{n} \to 0

，把这两点结合能得到怎样的放缩？

提示 3

想推翻其余选项，试取交错项

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

或

\frac{1}{n}

、

\frac{1}{n}

这类经典数列作反例。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

级数选择题的通法是「一证三反」：正确项找放缩，错误项找反例。看到条件仅有

a_{n} \to 0

（只保证有界、不保证级数收敛）就应警惕那些「想当然」的结论，用交错级数或

p

-级数当反例最快。而带平方的选项因

b_{n}^{2} \leq ∣ b_{n} ∣

加上

a_{n}

有界，天然适合比较判别法。

解答

本题考查级数收敛性的判定，用比较判别法证正确项、用反例排除错误项。

证 (C) 正确。 由

n \to \infty lim a_{n} = 0

知

{a_{n}}

有界，存在

M > 0

使

∣ a_{n} ∣ \leq M

。又

\sum ∣ b_{n} ∣

收敛，故

n \to \infty lim ∣ b_{n} ∣ = 0

，从而存在

N

，当

n > N

时

∣ b_{n} ∣ < 1

，于是

b_{n}^{2} \leq ∣ b_{n} ∣

，进而

a_{n}^{2} b_{n}^{2} \leq M^{2} ∣ b_{n} ∣.

因为

\sum M^{2} ∣ b_{n} ∣

收敛，由正项级数比较判别法知

\sum a_{n}^{2} b_{n}^{2}

收敛。

排除其余选项（反例）。 取

a_{n} = b_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

，则

a_{n} \to 0

且

\sum b_{n}

收敛，但

\sum a_{n} b_{n} = \sum \frac{1}{n}

发散，排除 (A)；
取

a_{n} = b_{n} = \frac{1}{n}

，则

\sum b_{n}

发散，但

\sum a_{n} b_{n} = \sum \frac{1}{n ^{2}}

收敛，排除 (B)；
取

a_{n} = b_{n} = \frac{1}{n}

，则

\sum ∣ b_{n} ∣

发散，但

\sum a_{n}^{2} b_{n}^{2} = \sum \frac{1}{n ^{2}}

收敛，排除 (D)。

综上，应选 C。

考点：正项级数的判别法、常数项级数的概念与性质

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