2009 年考研数学（一） 第 3 题

辨图不必逐点画，抓两个最易判断的特征即可。先用 $[-1,0)$ 上 $f\equiv 1$ 得到 $F(x)=x$ 这段过原点、取负值的直线，排除起点或峰值不符者；再用「可积函数的变限积分必连续」排除带跳跃的选项。剩下的再靠 $F^{\prime }=f$ 的增减定极小点。

本题考查变限积分的几何意义与可积函数原函数的连续性。 关键抓住两点：$F$ 在 $[-1,0)$ 上的具体表达式，以及 $F$ 的连续性。

当 $-1\le x<0$ 时 $f(t)=1$，故 $F(x)={\int }_0^{x}1\mathrm{d}t=x$，即在 $[-1,0)$ 上 $F$ 是过原点、斜率为 $1$ 的线段（取负值，$F(-1)=-1$）。这排除了 $F(-1)>0$ 的 (A) 与在 $x=0$ 处取到峰值 $1$ 的 (C)。

因为 $f(x)$ 在 $[-1,3]$ 上只有有限个（两个）第一类间断点，所以 $f$ 可积且 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 处处连续，这排除了在 $x=2$ 处出现跳跃的 (B)。

此外由 $F^{\prime }(x)=f(x)$：在 $(0,1)$ 上 $f<0$，$F$ 递减，$x=1$ 处取极小；在 $(1,2)$ 上 $f>0$，$F$ 递增；在 $(2,3)$ 上 $f=0$，$F$ 为水平线段。综合以上，应选 D。