2009 年考研数学（一） 第 2 题

选择题问最大值，先看能否用对称性「秒杀」而非硬算。被积函数 $y\cos x$ 对 $y$ 为奇、对 $x$ 为偶，凡关于 $x$ 轴对称的区域上积分为零，故 $I_2=I_4=0$；剩下只需比较上、下两块，靠 $y>0$ 与 $y<0$ 定符号。核心信号是「被积函数含奇函数因子 + 区域有对称性」。

本题考查二重积分的对称性。 被积函数 $y\cos x$ 关于 $y$ 是奇函数、关于 $x$ 是偶函数，逐块分析符号即可。

上方区域 $D_1$（$0\le x\le 1$ 时 $x\le y\le 1$，且关于 $y$ 轴对称）中 $y>0$、$\cos x>0$，故
$$I_1={\iint }_{D_1}y\cos x\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2{\int }_0^1\cos x\mathrm{d}x{\int }_x^{1}y\mathrm{d}y={\int }_0^1(1-x^2)\cos x\mathrm{d}x>0.$$

下方区域 $D_3$ 中 $y<0$，同理
$$I_3={\int }_0^1(x^2-1)\cos x\mathrm{d}x<0.$$
左、右区域 $D_2,D_4$ 都关于 $x$ 轴对称，而 $y\cos x$ 关于 $y$ 为奇函数，故
$$I_2=I_4=0.$$

于是 $I_1>0=I_2=I_4>I_3$，最大者为 $I_1$，应选 A。