2009 年考研数学（一） 第 1 题

看到「等价无穷小 + 含参数」，通法是把两边都作泰勒展开，比较最低次主部。$g$ 因带 $x^2$ 因子至少是三阶，这倒逼 $f=x-\sin ax$ 的一次项 $(1-a)x$ 必须消失，于是先由此定 $a$，再用三次项主部相等定 $b$。关键在「先消低次项定一个参数、再用主部系数定另一个」这个顺序。

本题考查等价无穷小的判定。 将 $f,g$ 都作泰勒展开，比较它们的最低次主部即可确定 $a,b$。

先看 $g(x)$：由 $\ln (1-bx)=-bx+o(x)$，得
$$g(x)=x^2\ln (1-bx)=-b{x}^3+o(x^3),$$
它是 $x^3$ 阶无穷小。

再看 $f(x)$：由 $\sin ax=ax-\frac{(ax{)}^3}{3!}+o(x^3)$，得
$$f(x)=x-\sin ax=(1-a)x+\frac{a^3}{6}{x}^3+o(x^3).$$
要使 $f(x)\sim g(x)$，$f(x)$ 必须与 $g(x)$ 同为 $x^3$ 阶，故一次项系数须为零：$1-a=0$，即 $a=1$。

当 $a=1$ 时 $f(x)=\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$。由 $f(x)\sim g(x)$ 得主部相等：$\frac{1}{6}=-b$，故 $b=-\frac{1}{6}$。综上应选 A。