2009 年考研数学（一） 第 17 题

旋转面方程的口诀是「绕 $x$ 轴则 $y^2\to y^2+z^2$」，两条曲线套用即可。难点在切线：过外点作椭圆切线，用切点处切线公式加上「过定点」这一条件定出切点。体积化为两个旋转体之差，关键是分清圆锥（$1\le x\le 4$）与被切椭球（$1\le x\le 2$）各自的积分限。

分析： 平面曲线绕 $x$ 轴旋转，把 $y^2$ 换成 $y^2+z^2$ 即得旋转面方程；切线用椭圆切线公式求出；体积用定积分（旋转体）。

（Ⅰ）$S_1$ 的方程。 椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 绕 $x$ 轴旋转，得
$$S_1:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2+z^2}{3}=1.$$

求切线。 设切点为 $(x_0,y_0)$，椭圆在该点的切线为 $\frac{x_{0}x}{4}+\frac{y_{0}y}{3}=1$。将点 $(4,0)$ 代入得 $\frac{4x_0}{4}=1$，即 $x_0=1$，从而 $y_0=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-x_0^2}=\pm \frac{3}{2}$。故切线为 $\frac{x}{4}\pm \frac{y}{2}=1$。

$S_2$ 的方程。 切线绕 $x$ 轴旋转（把 $y^2$ 换成 $y^2+z^2$）得
$${\left(\frac{x}{4}-1\right)}^2=\frac{y^2+z^2}{4},\text{即}(x-4{)}^2=4y^2+4z^2((x-4{)}^2-4y^2-4z^2=0).$$

（Ⅱ）求体积。 所求立体的体积等于以切线为母线的圆锥体（$1\le x\le 4$）体积 $V_1$ 减去被它切下的部分椭球体（$1\le x\le 2$）体积 $V_2$。
$$V_1=\pi {\int }_1^4\frac{1}{4}(x-4{)}^2\mathrm{d}x=\frac{\pi }{12}(x-4{)}^3{|}_1^4=\frac{9\pi }{4},$$
$$V_2=\pi {\int }_1^{2}3\left(1-\frac{x^2}{4}\right)\mathrm{d}x=\frac{3\pi }{4}{\int }_1^2(4-x^2)\mathrm{d}x=\frac{5\pi }{4}.$$

故所求体积为 $V=V_1-V_2=\frac{9\pi }{4}-\frac{5\pi }{4}=\pi$。