2009 年考研数学（一） 第 18 题

看到「证存在 $\xi$ 使 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$」就要想到罗尔定理 + 构造辅助函数：把结论移项凑成某函数导数为零，辅助函数取 $f$ 减割线，使两端点值相等。第（Ⅱ）问是「导数极限定理」，思路是对差商用拉氏中值定理引入 $\xi \in (0,x)$，再靠夹逼令 $x\to 0^{+}$，把 $f^{\prime }(\xi )$ 的极限转成已知的 $A$。

（Ⅰ）用罗尔定理证拉格朗日中值定理。 构造辅助函数
$$\phi (x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$$
显然 $\phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $\phi (a)=\phi (b)=0$。

由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使 ${\phi }^{\prime }(\xi )=0$。而
$${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a},$$
故 $f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$，即 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$。

（Ⅱ）利用（Ⅰ）证单侧导数存在。 任取 $x\in (0,\delta )$，因 $f(x)$ 在 $[0,x]$ 上连续、在 $(0,x)$ 内可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,x)$，使 $f(x)-f(0)=f^{\prime }(\xi )x$，即
$$\frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime }(\xi ).$$

当 $x\to 0^{+}$ 时 $\xi \to 0^{+}$，因 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=A$，故 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(\xi )=A$。于是
$$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(\xi )=A,$$
即 $f_{+}^{\prime }(0)$ 存在且等于 $A$。