2009 年考研数学（一） 第 19 题

见到分母 $(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}$ 且曲面包住原点，就是「奇点在内、散度为零」的经典信号——直接用高斯会踩到奇点。标准对策是在内部挖一个小球面把奇点隔离，夹层里散度为零使外层积分等于小球面上的积分。小球半径取 $1$ 让分母化为常数，是让计算最简的巧选。

分析： 被积表达式在原点处无意义（$\Sigma$ 内含原点），不能直接对 $\Sigma$ 用高斯公式。做法是在内部挖去一个小球面，在原点外的区域使用高斯公式。

记 $P=\frac{x}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}$，$Q,R$ 同理。直接计算可得（在原点外）
$$\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{y^2+z^2-2x^2}{(x^2+y^2+z^2{)}^{5/2}},\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{x^2+z^2-2y^2}{(x^2+y^2+z^2{)}^{5/2}},\frac{\partial R}{\partial z}=\frac{x^2+y^2-2z^2}{(x^2+y^2+z^2{)}^{5/2}},$$
三者之和为 $0$，即散度处处为零（原点除外）。

取小球面 ${\Sigma }_0:x^2+y^2+z^2=1$（取外侧，位于 $\Sigma$ 内部），设 $\Sigma$ 与 ${\Sigma }_0^{-}$（内侧）所围区域为 $\Omega$。在 $\Omega$ 上 $P,Q,R$ 连续可偏导，由高斯公式
$$\iint \frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=0.$$

故 $I=\iint (\cdots )=\iint (\cdots )$（${\Sigma }_0$ 取外侧）。在 ${\Sigma }_0$ 上 $x^2+y^2+z^2=1$，分母为 $1$，于是
$$I=\iint x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iiint }_{x^2+y^2+z^2\le 1}3\mathrm{d}v=3\cdot \frac{4}{3}\pi =4\pi .$$

所以 $I=4\pi$。