2009 年考研数学（一） 第 20 题

第（Ⅰ）问就是解两个非齐次方程组，常规行变换即可，注意 $A^2{\xi }_3={\xi }_1$ 要先求 $A^2$。第（Ⅱ）问证无关有两条路：直接算三向量行列式恒为非零常数；或利用链式关系 $A{\xi }_1=0,A{\xi }_2={\xi }_1,A^2{\xi }_3={\xi }_1$，对线性组合式反复左乘 $A$ 把系数一层层「剥」出来。后者更显结构，是这类「$A$ 的幂作用」题的通用技巧。

（Ⅰ）解 $A{\xi }_2={\xi }_1$。 对增广矩阵作初等行变换：
$$(A\mid {\xi }_1)=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& -1& -1\\ -1& 1& 1& 1\\ 0& -4& -2& -2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
得通解
$${\xi }_2=k_1\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}{k}_1-\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}{k}_1+\frac{1}{2}\\ k_1\end{array}\right)(k_1\text{为任意常数}).$$

解 $A^2{\xi }_3={\xi }_1$。 先算 $A^2=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ -2& -2& 0\\ 4& 4& 0\end{array}\right)$，对增广矩阵作行变换：
$$(A^2\mid {\xi }_1)=\left(\begin{array}{cccc}2& 2& 0& -1\\ -2& -2& 0& 1\\ 4& 4& 0& -2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& -\frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
得通解
$${\xi }_3=k_2\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_3\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-k_2-\frac{1}{2}\\ k_2\\ k_3\end{array}\right)(k_2,k_3\text{为任意常数}).$$

（Ⅱ）证明线性无关（行列式法）。 计算行列式
$$|{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3|=\left|\begin{array}{ccc}-1& \frac{1}{2}{k}_1-\frac{1}{2}& -k_2-\frac{1}{2}\\ 1& -\frac{1}{2}{k}_1+\frac{1}{2}& k_2\\ -2& k_1& k_3\end{array}\right|.$$
将第 1 行加到第 2 行化简，可得该行列式恒等于 $-\frac{1}{2}\ne 0$。故对任意 $k_1,k_2,k_3$，向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 线性无关。

另证（利用 $A{\xi }_1=0$）。 注意 $A{\xi }_1=0$，$A{\xi }_2={\xi }_1$，$A^2{\xi }_3={\xi }_1$。设 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+k_3{\xi }_3=0$，两边左乘 $A$ 得 $k_2{\xi }_1+k_{3}A{\xi }_3=0$；再左乘 $A$ 得 $k_3{A}^2{\xi }_3=k_3{\xi }_1=0$。由 ${\xi }_1\ne 0$ 得 $k_3=0$，代回得 $k_2=0$，再代回得 $k_1=0$。故 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 线性无关。