2009 年考研数学（一） 第 21 题

二次型第一步永远是写对称矩阵，交叉项系数要「减半」分配到对称位置。本题特征值能整齐地解成 $a,a+1,a-2$，为第二问铺路。规范形 $y_1^2+y_2^2$ 的信号是「正惯性指数 $2$、负惯性指数 $0$」，即两正一零；因三特征值大小已排定，只能让最小的 $a-2$ 为零，$a$ 随之确定。

（Ⅰ）写出二次型矩阵并求特征值。 二次型的矩阵为
$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 0& a& -1\\ 1& -1& a-1\end{array}\right).$$

由特征多项式
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a& 0& -1\\ 0& \lambda -a& 1\\ -1& 1& \lambda -a+1\end{array}\right|=(\lambda -a)[\lambda -(a+1)][\lambda -(a-2)]=0,$$
得 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=a,{\lambda }_2=a+1,{\lambda }_3=a-2$。

（Ⅱ）由规范形确定 $a$。 规范形为 $y_1^2+y_2^2$ 说明 $A$ 的正惯性指数为 $2$、负惯性指数为 $0$，即三个特征值中恰有 $2$ 个为正、$1$ 个为零。

因为 $a-2<a<a+1$，要使最小的特征值为零而另两个为正，只能 $a-2=0$，即 $a=2$。此时 ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=3,{\lambda }_3=0$，规范形恰为 $y_1^2+y_2^2$。故 $a=2$。