2009 年考研数学（一） 第 22 题

有放回 + 三色 + 取两次，本质是参数为 $2$ 的多项分布，先记下每色单次概率 $\frac{1}{6},\frac{2}{6},\frac{3}{6}$。第（Ⅰ）问用条件概率公式，分子分母都可当作「两次独立结果」来数。第（Ⅱ）问直接套多项分布公式列表，关键是 $X,Y$ 一定则 $Z=2-X-Y$ 也定，只需枚举 $i+j\le 2$ 的格子。

分析： 有放回抽取，每次各色球被取到的概率为：红 $\frac{1}{6}$、黑 $\frac{2}{6}$、白 $\frac{3}{6}$。两次抽取相互独立，且 $X+Y+Z=2$。

（Ⅰ） 由条件概率公式，
$$P\{X=1\mid Z=0\}=\frac{P\{X=1,Z=0\}}{P\{Z=0\}}.$$
$P\{Z=0\}$ 为两次都取到非白球（红或黑，共 $3$ 个），$P\{Z=0\}={\left(\frac{3}{6}\right)}^2=\frac{1}{4}$；$P\{X=1,Z=0\}$ 为一次红、一次黑，$P=\frac{{\mathrm{C}}_2^1\times {\mathrm{C}}_2^1}{6\times 6}=\frac{4}{36}$。故
$$P\{X=1\mid Z=0\}=\frac{4/36}{1/4}=\frac{4}{9}.$$

（Ⅱ） $(X,Y)$ 的可能取值为 $(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)$，按多项分布计算（$P\{X=i,Y=j\}=\frac{2!}{i!j!(2-i-j)!}{\left(\frac{1}{6}\right)}^i{\left(\frac{2}{6}\right)}^j{\left(\frac{3}{6}\right)}^{2-i-j}$）：
$$P\{X=0,Y=0\}=\frac{3^2}{6^2}=\frac{1}{4},P\{X=0,Y=1\}=\frac{{\mathrm{C}}_2^1\cdot 2\cdot 3}{6^2}=\frac{1}{3},P\{X=0,Y=2\}=\frac{2^2}{6^2}=\frac{1}{9},$$
$$P\{X=1,Y=0\}=\frac{{\mathrm{C}}_2^1\cdot 1\cdot 3}{6^2}=\frac{1}{6},P\{X=1,Y=1\}=\frac{{\mathrm{C}}_2^1\cdot 1\cdot 2}{6^2}=\frac{1}{9},P\{X=2,Y=0\}=\frac{1}{6^2}=\frac{1}{36},$$
其余 $P\{X=1,Y=2\}=P\{X=2,Y=1\}=P\{X=2,Y=2\}=0$。

即 $(X,Y)$ 的概率分布为

$$\begin{array}{cccc}X\backslash Y& 0& 1& 2\\ 0& \frac{1}{4}& \frac{1}{3}& \frac{1}{9}\\ 1& \frac{1}{6}& \frac{1}{9}& 0\\ 2& \frac{1}{36}& 0& 0\end{array}$$