2009 年考研数学（一） 第 23 题

参数估计两问套路很固定。矩估计：让理论一阶矩 $E(X)=\frac{2}{\lambda }$ 等于样本一阶矩 $\bar{X}$，解出 $\hat{\lambda }$。最大似然：连乘似然、取对数化连乘为求和、对 $\lambda$ 求导置零。这里密度是 Gamma 型，$E(X)$ 借 $\Gamma (3)=2$ 一步得到，两法最终给出同一估计量并不意外。

（Ⅰ）矩估计。 用一阶矩：
$$E(X)={\int }_0^{+\infty }x\cdot {\lambda }^{2}x{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x=\frac{1}{\lambda }{\int }_0^{+\infty }(\lambda x{)}^2{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}(\lambda x)=\frac{1}{\lambda }\Gamma (3)=\frac{2}{\lambda }.$$
令 $E(X)=\bar{X}$，即 $\frac{2}{\lambda }=\bar{X}$，解得矩估计量
$$\hat{\lambda }=\frac{2}{\bar{X}}.$$

（Ⅱ）最大似然估计。 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n(x_i>0)$ 为样本观测值，似然函数为
$$L(\lambda )=\prod _{i=1}^n{\lambda }^2{x}_i{\mathrm{e}}^{-\lambda x_i}={\lambda }^{2n}{\mathrm{e}}^{-\lambda {\sum }_{i=1}^n{x}_i}\prod _{i=1}^n{x}_i.$$
取对数：
$$\ln L=2n\ln \lambda -\lambda \sum _{i=1}^n{x}_i+\sum _{i=1}^n\ln x_i.$$

令 $\frac{\mathrm{d}\ln L}{\mathrm{d}\lambda }=\frac{2n}{\lambda }-{\sum }_{i=1}^n{x}_i=0$，解得 $\lambda =\frac{2n}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}=\frac{2}{\bar{X}}$。故 $\lambda$ 的最大似然估计量为
$$\hat{\lambda }=\frac{2}{\bar{X}}.$$