2008 年考研数学（一） 第 21 题

三对角行列式的通用打法是按首列展开导出二阶递推 $D_n=2a{D}_{n-1}-a^2{D}_{n-2}$，再用『作差成等比』或归纳法求闭式。第（Ⅱ）（Ⅲ）问的分界点自然是 $|\mathbf{A}|=(n+1)a^n$ 是否为零：非零时用克拉默法则只求 $x_1$（其分子行列式又化成 $D_{n-1}$）；$a=0$ 时矩阵退化为超对角线全 $1$，可直接从方程读出 $x_2=1$、其余为零而 $x_1$ 自由。

（Ⅰ） 记 $D_n=|\mathbf{A}|$。将 $D_n$ 按第一列展开得递推关系 $$D_n=2a{D}_{n-1}-a^2{D}_{n-2}.$$ 由此 $D_n-a{D}_{n-1}=a(D_{n-1}-a{D}_{n-2})=\cdots =a^{n-2}(D_2-a{D}_1)$。而 $D_1=2a$，$D_2=\left|\begin{array}{cc}2a& 1\\ a^2& 2a\end{array}\right|=3a^2$，故 $D_2-a{D}_1=a^2$，从而 $D_n-a{D}_{n-1}=a^n$。

于是 $D_n=a{D}_{n-1}+a^n=a(a{D}_{n-2}+a^{n-1})+a^n=a^2{D}_{n-2}+2a^n=\cdots =a^{n-1}{D}_1+(n-1)a^n=2a^n+(n-1)a^n=(n+1)a^n.$ 也可用数学归纳法：设 $D_k=(k+1)a^k$，则 $D_{k+1}=2a(k+1)a^k-a^2\cdot k{a}^{k-1}=(k+2)a^{k+1}$，得证 $|\mathbf{A}|=(n+1)a^n$。

（Ⅱ） 当 $|\mathbf{A}|=(n+1)a^n\ne 0$，即 $a\ne 0$ 时，$r(\mathbf{A})=n$，方程组有唯一解。由克拉默法则，用 $\mathbf{b}$ 替换第一列所得行列式 $$D^{(1)}=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 2a& 1& \cdots & 0\\ 0& a^2& 2a& \cdots & 0\\ ⋮& & & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2a\end{array}\right|=D_{n-1}=n{a}^{n-1},$$ 故 $$x_1=\frac{D^{(1)}}{|\mathbf{A}|}=\frac{n{a}^{n-1}}{(n+1)a^n}=\frac{n}{(n+1)a}.$$

（Ⅲ） 当 $|\mathbf{A}|=0$，即 $a=0$ 时，$\mathbf{A}$ 只有超对角线元为 $1$、其余为 $0$：对增广矩阵作行变换 $$\overline{\mathbf{A}}=(\mathbf{A}\mid \mathbf{b})\to \left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& \cdots & 0& 1\\ 0& 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& & & \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right),$$ 由 $r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})=n-1<n$ 知有无穷多解。方程给出 $x_2=1,x_3=\cdots =x_n=0$，$x_1$ 自由。

故通解为 $$\mathbf{x}=C\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)(C\text{为任意常数}).$$