2008 年考研数学（一） 第 22 题

$X$ 离散、$Y$ 连续且相互独立，求 $Z=X+Y$ 的分布，标准做法是对 $X$ 的取值用全概率公式，把 $\{Z\le z\}$ 拆成三段 $\{Y\le z-i\}$。第（Ⅰ）问更直接：独立性让条件概率退化为 $P\{Y\le \frac{1}{2}\}$。算得 $F_Z(z)$ 后求导得密度，三段恰好拼成均匀分布，正合『离散平移 + 均匀』的直觉。

分析。 $X$ 离散、$Y$ 连续且相互独立，求 $Z=X+Y$ 的分布用全概率公式对 $X$ 的取值分类。

（Ⅰ） 由独立性 $$P\{Z\le \frac{1}{2}|X=0\}=P\{Y\le \frac{1}{2}|X=0\}=P\{Y\le \frac{1}{2}\}={\int }_0^{1/2}1dy=\frac{1}{2}.$$

（Ⅱ） 记 $F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{X+Y\le z\}$。因 $Y\in [0,1)$，$X\in \{-1,0,1\}$，故 $Z\in [-1,2)$。当 $z<-1$ 时 $F_Z(z)=0$，当 $z\ge 2$ 时 $F_Z(z)=1$。对 $-1\le z<2$，用全概率公式 $$F_Z(z)=\frac{1}{3}P\{Y\le z+1\}+\frac{1}{3}P\{Y\le z\}+\frac{1}{3}P\{Y\le z-1\}.$$

分段计算：当 $-1\le z<0$，$F_Z(z)=\frac{1}{3}P\{Y\le z+1\}=\frac{1}{3}{\int }_0^{z+1}dy=\frac{1}{3}(z+1)$；当 $0\le z<1$，$F_Z(z)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}P\{Y\le z\}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}z=\frac{1}{3}(z+1)$；当 $1\le z<2$，$F_Z(z)=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}P\{Y\le z-1\}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}(z-1)=\frac{1}{3}(z+1)$。

故 $$F_Z(z)=\{\begin{array}{ll}0,& z<-1,\\ \frac{1}{3}(z+1),& -1\le z<2,\\ 1,& z\ge 2.\end{array}$$ 求导得概率密度 $$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& -1<z<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$