2008 年考研数学（一） 第 23 题

第（Ⅰ）问无偏性靠期望的线性拆分：$E({\overline{X}}^2)$ 用方差公式还原、$E(S^2)={\sigma }^2$ 是常识，一减正好得 ${\mu }^2$。第（Ⅱ）问求方差的关键是把统计量翻译成卡方：$n{\overline{X}}^2\sim {\chi }^2(1)$、$(n-1)S^2\sim {\chi }^2(n-1)$，再借正态样本下 $\overline{X}$ 与 $S^2$ 独立把 $D(T)$ 拆成两项，各自用 ${\chi }^2(k)$ 方差 $2k$ 代入即可。

（Ⅰ） 由 $\overline{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$，得 $E({\overline{X}}^2)=D(\overline{X})+[E(\overline{X}){]}^2=\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2$。又样本方差 $E(S^2)={\sigma }^2$，故 $$E(T)=E({\overline{X}}^2)-\frac{1}{n}E(S^2)=\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2-\frac{{\sigma }^2}{n}={\mu }^2.$$ 所以 $T={\overline{X}}^2-\frac{1}{n}{S}^2$ 是 ${\mu }^2$ 的无偏估计量。

（Ⅱ） 当 $\mu =0,\sigma =1$ 时，$\overline{X}\sim N\left(0,\frac{1}{n}\right)$，标准化 $\sqrt{n}\overline{X}\sim N(0,1)$，故 $n{\overline{X}}^2\sim {\chi }^2(1)$。又 $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=(n-1)S^2\sim {\chi }^2(n-1)$，且 $\overline{X}$ 与 $S^2$ 相互独立。

利用 ${\chi }^2(k)$ 的方差为 $2k$：$D(n{\overline{X}}^2)=2$，$D[(n-1)S^2]=2(n-1)$。于是 $$D(T)=D({\overline{X}}^2)+\frac{1}{n^2}D(S^2)=\frac{1}{n^2}D(n{\overline{X}}^2)+\frac{1}{n^2(n-1{)}^2}D[(n-1)S^2]=\frac{2}{n^2}+\frac{2(n-1)}{n^2(n-1{)}^2}.$$

化简：$$D(T)=\frac{2}{n^2}+\frac{2}{n^2(n-1)}=\frac{2(n-1)+2}{n^2(n-1)}=\frac{2n}{n^2(n-1)}=\frac{2}{n(n-1)}.$$