2008 年考研数学（一） 第 20 题

$\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 这种外积矩阵秩至多为 $1$，是本题的核心事实；配上秩的次可加性 $r(\mathbf{B}+\mathbf{C})\le r(\mathbf{B})+r(\mathbf{C})$，第（Ⅰ）问一步到位。第（Ⅱ）问的信号是『线性相关』，意味着 $\mathbf{\beta }$ 是 $\mathbf{\alpha }$ 的倍数，代入后两项合并成 $(1+k^2)\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$，秩塌缩为 $\le 1<2$。

分析。 关键用两条秩不等式：$r(\mathbf{B}+\mathbf{C})\le r(\mathbf{B})+r(\mathbf{C})$，以及对列向量 $r(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}})=r(\mathbf{\alpha })\le 1$。

（Ⅰ） 因 $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$、$\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$ 都是秩不超过 $1$ 的矩阵（$r(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}})=r(\mathbf{\alpha })\le 1$，$r(\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})=r(\mathbf{\beta })\le 1$），故 $$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})\le r(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}})+r(\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})=r(\mathbf{\alpha })+r(\mathbf{\beta })\le 1+1=2.$$

（Ⅱ） 若 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 线性相关，则二者成比例。若 $\mathbf{\alpha }=0$ 或 $\mathbf{\beta }=0$，结论显然（此时 $\mathbf{A}$ 至多为一个秩 $\le 1$ 的矩阵）。否则不妨设 $\mathbf{\beta }=k\mathbf{\alpha }$，则 $$\mathbf{A}=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}+k^2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}=(1+k^2)\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}},$$ 于是 $$r(\mathbf{A})=r[(1+k^2)\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}]=r(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}})=r(\mathbf{\alpha })\le 1<2.$$ 证毕。