2008 年考研数学（一） 第 19 题

余弦级数即偶延拓，立刻知道 $b_n=0$，工作量只在 $a_0,a_n$。得到展开式后，求 $\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}$ 的诀窍是『代点』：取 $x=0$ 使 $\cos nx=1$，让系数里的 $(-1{)}^{n+1}$ 直接现身，再解出目标和。选点的动机就是让通项凑成待求的形式。

分析。 展成余弦级数即作偶延拓，$b_n=0$，只需算 $a_0,a_n$。

$$a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }(1-x^2)dx=\frac{2}{\pi }(\pi -\frac{{\pi }^3}{3})=2(1-\frac{{\pi }^2}{3}).$$

$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }(1-x^2)\cos nxdx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos nxdx-\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }{x}^2\cos nxdx.$$ 第一项为 $0$；第二项两次分部积分得 ${\int }_0^{\pi }{x}^2\cos nxdx=\frac{2\pi (-1{)}^n}{n^2}$。故 $$a_n=-\frac{2}{\pi }\cdot \frac{2\pi (-1{)}^n}{n^2}=\frac{4(-1{)}^{n+1}}{n^2}(n=1,2,\cdots ).$$

又 $b_n=0$，且 $f(x)=1-x^2$ 在 $[0,\pi ]$ 上连续，故余弦级数收敛于 $f(x)$：$$1-x^2=(1-\frac{{\pi }^2}{3})+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{4(-1{)}^{n+1}}{n^2}\cos nx(0\le x\le \pi ).$$

令 $x=0$，左端 $=1$，得 $1=(1-\frac{{\pi }^2}{3})+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{4(-1{)}^{n+1}}{n^2}$，于是 $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{{\pi }^2}{3}=\frac{{\pi }^2}{12}.$$