2008 年考研数学（一） 第 18 题

第（Ⅰ）问强调『用定义』，故不能直接引用变限积分求导结论，而要回到差商，用积分中值定理把 ${\int }_x^{x+\Delta x}f$ 变成 $f(\xi )\Delta x$，借 $f$ 连续令 $\xi \to x$。第（Ⅱ）问证周期的通法是验证 $G(x+2)=G(x)$：拆积分后关键用到周期函数在一个周期上的积分与起点无关，多出的项恰好抵消。

（Ⅰ）用导数定义。 计算增量 $$\Delta F=F(x+\Delta x)-F(x)={\int }_0^{x+\Delta x}f(t)dt-{\int }_0^{x}f(t)dt={\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt.$$

因为 $f$ 连续，由积分中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x+\Delta x$ 之间，使 ${\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt=f(\xi )\Delta x$，于是 $\frac{\Delta F}{\Delta x}=f(\xi )$。当 $\Delta x\to 0$ 时 $\xi \to x$，由 $f$ 连续得 $$F^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta F}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(\xi )=f(x).$$

（Ⅱ） 设 $f(t+2)=f(t)$。计算 $$G(x+2)=2{\int }_0^{x+2}f(t)dt-(x+2){\int }_0^{2}f(t)dt.$$ 把 ${\int }_0^{x+2}={\int }_0^x+{\int }_x^{x+2}$，展开得 $$G(x+2)=2{\int }_0^{x}f(t)dt+2{\int }_x^{x+2}f(t)dt-x{\int }_0^{2}f(t)dt-2{\int }_0^{2}f(t)dt=G(x)+2{\int }_x^{x+2}f(t)dt-2{\int }_0^{2}f(t)dt.$$

由周期函数在任一长为周期的区间上积分相等，${\int }_x^{x+2}f(t)dt={\int }_0^{2}f(t)dt$，故 $2{\int }_x^{x+2}f(t)dt-2{\int }_0^{2}f(t)dt=0$。

因此 $G(x+2)=G(x)$，即 $G(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数。