2008 年考研数学（一） 第 17 题

『距离 $xOy$ 面』翻译成 $|z|$，于是目标函数取 $z^2$、约束是曲线的两个方程——典型的等式约束条件极值，拉格朗日乘数法是首选。列方程组后利用对 $x,y$ 的对称性得 $x=y$，再代回两约束解出两个候选点，比较 $|z|$ 即知最远、最近。

分析。 点 $(x,y,z)$ 到 $xOy$ 面的距离为 $|z|$，故求距离的极值等价于在两个约束下求 $z^2$ 的最值，用拉格朗日乘数法。

设目标 $d^2=z^2$，构造拉格朗日函数 $$F(x,y,z)=z^2+\lambda (x^2+y^2-2z^2)+\mu (x+y+3z-5).$$

令各偏导为零：$$\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }=2\lambda x+\mu =0,\\ F_y^{\prime }=2\lambda y+\mu =0,\\ F_z^{\prime }=2z-4\lambda z+3\mu =0,\\ x^2+y^2-2z^2=0,\\ x+y+3z-5=0.\end{array}$$

由前两式得 $\lambda (x-y)=0$。若 $\lambda =0$ 则 $\mu =0$ 与 $F_z^{\prime }=2z=0$ 矛盾（由约束 $z\ne 0$），故 $x=y$。代入两个约束：$2x^2=2z^2$ 且 $2x+3z=5$，即 $x=\pm z$。解得 $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=1\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=-5\\ z=5\end{array}$。

两点到 $xOy$ 面的距离分别为 $|z|=1$ 与 $|z|=5$。故曲线 $C$ 上距离 $xOy$ 面最近的点为 $(1,1,1)$，最远的点为 $(-5,-5,5)$。