2008 年考研数学（一） 第 16 题

曲线是显式函数，直接参数化代入比套格林公式更省事。代入后关键一步是用倍角公式把两项并成 $x^2\sin 2x$；随后 $\sin 2xdx=d({\sin }^{2}x)$ 提示用分部积分，最后借 ${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx$ 的对称公式扫清含 $x$ 的因子。

分析。 曲线 $L$ 有显式表达式 $y=\sin x$，可直接化为对 $x$ 的定积分；也可补线用格林公式。这里给出直接代入法。

在 $L$ 上 $y=\sin x$，$dy=\cos xdx$，$x$ 从 $0$ 到 $\pi$。代入得 $${\int }_L={\int }_0^{\pi }[\sin 2x+2(x^2-1)\sin x\cos x]dx={\int }_0^{\pi }[\sin 2x+(x^2-1)\sin 2x]dx={\int }_0^{\pi }{x}^2\sin 2xdx,$$ 其中用了 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，且方括号内合并为 $x^2\sin 2x$。

注意 $\sin 2xdx=d({\sin }^{2}x)$，分部积分：$${\int }_0^{\pi }{x}^2\sin 2xdx={\int }_0^{\pi }{x}^{2}d({\sin }^{2}x)=[x^2{\sin }^{2}x{]}_0^{\pi }-2{\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}xdx=-2{\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}xdx.$$

由对称公式 ${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$，得 $$-2{\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}xdx=-2\cdot \frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=-\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=-\pi \cdot \frac{\pi }{2}=-\frac{{\pi }^2}{2}.$$

故 ${\int }_L\sin 2xdx+2(x^2-1)ydy=-\frac{{\pi }^2}{2}$。